状態空間モデル

• 状態方程式：予測対象分布　x_t = T_t * x_(t-1) + R_t * ξ_t　　ξ_t～N(0, Q_t) 
• 観測方程式：予測対象の観測値の分布　y_t = Z_t * x_t + ε_t　　ε_t～N(0, H_t)
• フィルタリング：手に入った観測値で、予測された状態の値を補正
• 平滑化：すべてのデータが手に入った後に、状態の補正を行う（予測精度が上がるわけではないが、補正に使われる情報が増えるので、ノイズの影響を軽減できる）
  
• プログラム例１（statsを用いた外生変数入れた予測モデル）
• プログラム例２（サブクラス作成による予測モデル）
  

ローカルレベルモデル

• 状態方程式：μ_t = μ_(t-1) + ω_t　　ω_t～N(0, σ²_ω)
• 観測方程式：y_t = μ_t + ν_t　　ν_t～N(0, σ²_ν)

ローカル線形トレンドモデル

• トレンド成分：δ_t = δ_(t-1) + ξ_t　　ξ_t～N(0, σ²_ξ)
• 状態方程式：μ_t = μ_(t-1) + δ_(t-1) + ω_t　　ω_t～N(0, σ²_ω)
• 観測方程式： y_t = μ_t + ν_t　　ν_t～N(0, σ²_ν) 

カルマンフィルタ

• 予測ステップ
• μ_t = μ_(t-1)|(t-1)　　μ_(t-1)|(t-1)：t-1時点のフィルタ化推定量
• P_t = P_(t-1)|(t-1) + σ²_ω　　P_(t-1)|(t-1)：t-1時点の「状態のフィルタ化推定量μ_(t-1)|(t-1)の推定誤差分散」
• ^y_t = μ_t　　^y_t：t時点の観測値の予測値
• F_t = P_t + σ²_ν    F_t：t時点の「観測値の予測誤差の分散」
• フィルタリング
• K_t = P_t / (P_t + σ²_ν) = P_t / F_t　　K_t：カルマンゲイン
• y_resid,t = y_t - ^y_t　　y_resid,t：観測誤差
• μ_t|t = μ_t + K_t * y_resid,t
  
• P_t|t = (1 - K_t ) * P_t
  

散漫カルマンフィルタ

　カルマンフィルタの改良版

　状態の初期値への対応を以下のように行う

• 状態の初期値はあきらめる
• ただし、「状態の予測誤差の分散」の初期値を無限大にしておく

※散漫カルマンフィルタを入れることで、最初の予測値の精度が上がるが、時間経過とともにカルマンフィルタの値を同じになるので、初期値の精度気にしないなら、いらないと思われる

平滑化

　省略

状態空間モデルのプログラム例１

状態空間モデルのプログラム例２（サブクラス作成版）